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안녕하세요!
지난번엔 에라토스테네스의 체를 이용해 소수를 찾아보았습니다.
오늘은 평범한 소수를 넘어, 전 세계 수학자들이 슈퍼 컴퓨터까지 동원해 찾아 헤매는 ‘거대한 소수’, 바로 메르센 소수에 대해 이야기해보려 합니다.
소수를 만들 수 있는 이 신비로운 마법의 마법의 메르센 소수의 정체는 알아볼까요?
1. 메르센 소수, 이름의 유래는?
메르센 소수는 17세기 프랑스의 신부님이자 수학자였던 마랭 메르센(Marin Mersenne)의 이름에서 따왔어요. 그는 당시 수학자들의 ‘연락망’ 같은 역할을 했던 분인데, 소수를 아주 쉽게(?) 만들 수 있는 특별한 공식을 제안했답니다.
2. 메르센 소수를 만드는 ‘비밀 레시피’
메르센 소수를 만드는 방법은 생각보다 간단해요. 딱 두 가지만 기억하면 됩니다.
- 2를 여러 번 곱한다. (수학에서는 이걸 ‘거듭제곱’이라고 해요)
- 거기서 1을 뺀다.
수학 기호로 나타내면 이렇게 쓸 수 있어요.
$$ M_p = 2^p – 1 $$
(여기서 지수인 p도 반드시 소수여야 해요!)
한번 직접 만들어볼까요?
p=2(소수)일 때: $$ 2^2 – 1 = 2 \times 2 – 1 = \mathbf{3} $$
p=3(소수)일 때: $$ 2^3 – 1 = 2 \times 2 \times 2 – 1 = \mathbf{7} $$
p=5(소수)일 때: $$ 2^5 – 1 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 – 1 = \mathbf{31} $$
p=7(소수)일 때: $$ 2^7 – 1 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 – 1 = \mathbf{127} $$
어때요?
3, 7, 31, 127 모두 소수입니다. 정말 소수들이 툭툭 만들어지지요?
하지만 안타깝게도 이 공식으로 만든 숫자가 항상 소수인 건 아닙니다.
예를 들어 p=11(소수)일 때 만든 숫자는 소수가 아닙니다.
$$ 2^{11} – 1 = 2048 – 1 = 2047 $$
$$ 2047 = 23 \times 89 $$
2047의 약수는 1, 23, 89, 2047로 약수가 4개인 합성수입니다.
하지만 메르센 소수의 형식을 띈 소수들이 드문드문 발견이 되고 있답니다. 그래서 수학자들은 이 공식으로 만든 숫자 중 진짜 소수인 것을 찾기 위해 지금도 구슬땀을 흘리고 있어요.
3. 메르센 소수가 특별한 이유: “폭발적인 성장!”
메르센 소수의 가장 큰 특징은 숫자가 커지는 속도가 어마어마하다는 거예요.
아무래도 2의 거듭제곱으로 커지다보니 수가 빠르게 커지게 됩니다. 컴퓨터가 발달하지 않았던 예전에는 수가 커질수록 이 수가 소수인지 판별하기가 어려웠습니다.
그 예로 1644년 메르센은 $$ M_67 = 2^{67} – 1 $$ 이 소수라고 생각을 했습니다. 하지만 당시에는 이 수가 소수인지 아닌지 정확하게 확인을 할 수가 없었습니다. 소수라고 생각을 하고 있었던 이 수는 1903년 프랭크 넬슨 콜이 소수가 아님을 확인했습니다.
$$ 2^{67} – 1 = 147573952589676412927 =$$
$$ 193707721 \times 761838257287 $$
메르센 소수는 처음 몇 개는 손가락으로 셀 수 있을 만큼 작지만, 조금만 지나면 지구상의 어떤 종이로도 다 적을 수 없을 만큼 거대해진답니다.
| 순서 | $$ 2^p−1 $$ | 계산 결과 |
| 1번째 메르센 소수 | $$ 2^2 – 1 $$ | 3 |
| 2번째 메르센 소수 | $$ 2^3 – 1 $$ | 7 |
| 3번째 메르센 소수 | $$ 2^5 – 1 $$ | 31 |
| 4번째 메르센 소수 | $$ 2^7 – 1 $$ | 127 |
| … | … | … |
| 52번째 메르센 소수 | $$ 2^{136279841} – 1 $$ | 약 4,102만 자리의 숫자 |
4. 2026년 현재, 우리가 알고 있는 가장 큰 소수
우리가 살고 있는 지금 이 시대는 수학 역사상 가장 흥미로운 시기예요.
2024년 10월, 인류는 드디어 52번째 메르센 소수를 찾아냈거든요!
이 숫자의 이름은 M{136279841}입니다. 전 세계의 컴퓨터 수천 대를 연결해 계산하는 ‘GIMPS(Gimps)’라는 프로젝트를 통해 발견되었죠. 특히 이번 발견은 ‘루크 듀랑’이라는 연구자가 인공지능 계산에 쓰이는 강력한 부품(GPU)을 활용해 찾아내어 큰 화제가 되었습니다.
이 숫자가 얼마나 큰수인지 상상이 가나요? 무려 4102만 자리 숫자인 이 숫자를 소리 내어 읽으려면 평생을 꼬박 읽어도 부족하고, 책으로 펴내면 도서관 한 칸을 가득 채울 정도랍니다. 인류는 소수라는 보물을 찾기 위해 디지털 우주를 탐험하고 있는 셈이에요.
5. 왜 수학자들은 메르센 소수에 집착할까요?
이렇게 큰 숫자를 찾아서 어디에 쓰냐고요? 사실 메르센 소수는 그 자체로도 아름답지만, ‘완전수’라고 불리는 또 다른 신비로운 숫자와 찰떡궁합이에요. 메르센 소수 하나를 찾으면, 그와 짝꿍인 완벽한 숫자(자신의 약수를 모두 더하면 자기 자신이 되는 수)도 하나 찾을 수 있거든요.
또한, 이 거대한 소수를 찾는 과정에서 컴퓨터의 성능을 시험하기도 하고, 우리가 사용하는 인터넷 암호를 더 튼튼하게 만드는 기술을 배우기도 한답니다.
마치며: 보이지 않는 질서를 찾아서
소수는 2, 3, 5처럼 작은 숫자부터 시작해 4,000만 자리가 넘는 거대한 메르센 소수까지 끝없이 이어져 있어요. 그 속에 어떤 규칙이 숨어있는지, 소수의 끝은 어디인지 우리는 아직 다 알지 못해요.
하지만 수학자들은 포기하지 않아요. 아무런 규칙이 없어 보이는 숫자들 사이에서 ‘메르센 소수’라는 빛나는 이정표를 발견했듯이, 언젠가는 소수의 모든 비밀을 풀어낼 날이 올 테니까요.
여러분도 오늘부터 나만의 숫자를 관찰해 보는 건 어떨까요? 어쩌면 미래의 슈퍼컴퓨터보다 더 날카로운 여러분의 직관이 53번째 메르센 소수를 향한 힌트를 찾아낼지도 모릅니다!