안녕하세요?
‘나르시시즘’이란 용어에 대해 들어보신적 있으신가요?
‘나르시시즘’은 그리스 신화의 한 일화에서 유래하였습니다.
나르키소스(Narcissus)는 자신의 모습을 너무 사랑한 나머지 물에 비친 아름다운 자신의 모습을 보고 사랑에 빠져 버리고 맙니다. 호수에 비친 자신의 모습을 보느라 아무것도 먹지 않고 죽음을 맞이합니다. 나르키소스가 죽은 자리에서 꽃이 피어나는데 그 꽃이 수선화입니다. 그래서 수선화의 영어 이름이 ‘Narcissus’ 라고 부르며 꽃말은 다음과 같습니다.
- 자존
- 무심
- 자아도취
- 자애
- 자만
나르키소스의 이름에서 유래한 ‘나르시시즘’은 주로 자기 자신에 대한 자기애가 왜곡적으로 나타날 때 사용하는 말입니다.
그렇다면 수에 나르시시스트란 말이 붙으면 어떻게 될까요? 나르시시스트 수[narcissistic numbers]에 대해 소개합니다.
1. 나르시시스트 수[narcissistic numbers]란?
1) 의미
나르시시스트 수는 다른 말로 암스트롱 수(Armstrong number) 또는 plus-perfect numbers라고도 부릅니다.
이 수는 각 자리 숫자에 자릿수의 거듭제곱을 해서 다시 모두 더하면 다시 자기 자신이 되는 특징을 가진 수를 말합니다.
2) 나르시시스트 수 예
153이란 수를 예로 들어보겠습니다. 153은 3자리 수입니다. 각 자리의 숫자인 1, 5, 3을 세제곱을 하여 더하면 153 = 13+53+33 이 성립함을 알 수 있습니다.
또 다른 예로 370, 371, 407과 같은 수들이 있는데 이 수도 계산을 해보면 각 자리 숫자를 자릿수(3)만큼 세제곱을 하여 더하면 자기 자신이 됨을 알 수 있습니다.
네 자리 수로는 1634, 8208, 9474가 존재합니다. 이 수들도 각 자리의 숫자에 4제곱을 해서 더하면 자기 자신이 됩니다.
가장 간단하고 직관적인 나르시시스트 수는 1,2,3,4,5,6,7,8,9 입니다.
두 자리 나르시시스트 수는 존재하지 않고 3자리수는 153, 370, 371, 407 이렇게 4개가 존재합니다. 네자리 수는 1634, 8208, 9474 3개가 존재하구요. 이런 숫자들을 어떻게 찾았는지 생각만해도 신기한데 이런 숫자들이 모두 88개가 존재한다고 합니다.
3) 88개의 나르시시스트 수
나르시시스트 수는 아래와 같습니다.
| 자릿수 | 개수 | 나르시시스트 수 |
|---|---|---|
| 1 자리 수 | 9 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 |
| 3 자리 수 | 4 | 153, 370, 371, 407 |
| 4 자리 수 | 3 | 1634, 8208, 9474 |
| 5 자리 수 | 3 | 54748, 92727, 93084 |
| 6 자리 수 | 1 | 548834 |
| 7 자리 수 | 4 | 1741725, 4210818, 9800817, 9926315 |
| 8 자리 수 | 3 | 24678050, 24678051, 88593477 |
| 9 자리 수 | 4 | 146511208, 472335975, 534494836, 912985153 |
| 10 자리 수 | 1 | 4679307774 |
| 11 자리 수 | 8 | 32164049650, 32164049651, 40028394225, 42678290603, 44708635679, 49388550606, 82693916578, 94204591914 |
| 14 자리 수 | 1 | 28116440335967 |
| 16 자리 수 | 2 | 4338281769391370, 4338281769391371 |
| 17 자리 수 | 3 | 21897142587612075, 35641594208964132, 35875699062250035 |
| 19 자리 수 | 4 | 1517841543307505039, 3289582984443187032, 4498128791164624869, 4929273885928088826 |
| 20 자리 수 | 1 | 63105425988599693916 |
| 21 자리 수 | 2 | 128468643043731391252, 449177399146038697307 |
| 23 자리 수 | 5 | 21887696841122916288858, 27879694893054074471405, 27907865009977052567814, 28361281321319229463398, 35452590104031691935943 |
| 24 자리 수 | 3 | 174088005938065293023722, 188451485447897896036875, 239313664430041569350093 |
| 25 자리 수 | 5 | 1550475334214501539088894, 1553242162893771850669378, 3706907995955475988644380, 3706907995955475988644381, 4422095118095899619457938 |
| 27 자리 수 | 5 | 121204998563613372405438066, 121270696006801314328439376, 128851796696487777842012787, 174650464499531377631639254, 177265453171792792366489765 |
| 29 자리 수 | 4 | 14607640612971980372614873089, 19008174136254279995012734740, 19008174136254279995012734741, 23866716435523975980390369295 |
| 31 자리 수 | 3 | 1145037275765491025924292050346, 1927890457142960697580636236639, 2309092682616190307509695338915 |
| 32 자리 수 | 1 | 17333509997782249308725103962772 |
| 33 자리 수 | 2 | 186709961001538790100634132976990, 186709961001538790100634132976991 |
| 34 자리 수 | 1 | 1122763285329372541592822900204593 |
| 35 자리 수 | 2 | 12639369517103790328947807201478392, 12679937780272278566303885594196922 |
| 37 자리 수 | 1 | 1219167219625434121569735803609966019 |
| 38 자리 수 | 1 | 12815792078366059955099770545296129367 |
| 39 자리 수 | 2 | 115132219018763992565095597973971522400, 115132219018763992565095597973971522401 |
| 합계 | 88 | – |
4) 가장 큰 나르시시스트 수
가장 큰 나르시시스트 수는 39자리나 됩니다. 수를 수식으로 나타낸다면 아래와 같습니다.
이 수를 발견해 낸 것도 정말 대단하다는 생각이 듭니다. 다행히(?)도 나르시시스트 수는 88개만 존재하고 더 큰 나르시시스트 수는 존재하지 않는다고 합니다. 1985년에 D. Winter이 증명하고, D. Hoey가 검증까지 마쳤다고 하네요.
마무리
나르시시스트 수는 각 자리 숫자를 자릿수만큼 거듭제곱하여 더했을 때 자기 자신이 되는 특별한 수입니다. 놀랍게도 이런 특별한 수는 세상에 단 88개만 존재하며, 가장 큰 것은 무려 39자리에 달합니다.
수학의 세계는 이처럼 신비롭고 흥미로운 패턴으로 가득 차 있어 우리의 호기심을 자극합니다.