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안녕하세요!
오늘은 소수와 관련하여 아직까지 풀리지 않은 미해결 문제를 소개하려고 합니다. 이름하여
‘골드바흐의 추측(Goldbach’s Conjecture)’.
이 문제는 초등학생도 이해할 수 있을 만큼 간단한데, 전 세계 천재 수학자들이 280년 넘게 매달려도 증명하지 못한 골칫거리랍니다.
1. 사건의 시작
1742년 6월 7일, 독일의 수학자 크리스티안 골드바흐(Christian Goldbach)가 친구 레온하르트 오일러(Leonhard Euler)에게 편지 한 통을 보냈어요. 오일러는 당시 최고의 천재로 손꼽히던 수학자였죠.
편지 내용은 이랬습니다.
“오일러, 신기한 규칙을 하나 발견했네. 2보다 큰 모든 짝수는 두 개의 소수를 더해서 만들 수 있는 것 같아. 자네 생각은 어떤가?”
오일러의 답장도 흥미로웠어요.
“정말 대단한 발견이야! 나도 그게 맞다고 확신하네. 하지만… 증명은 못하겠어.”
그렇게 280년이 흘렀지만, 아직도 이것이 왜 항상 성립하는지 증명한 사람은 아무도 없습니다.
2. 직접 확인해 볼까요?
정말 모든 짝수가 두 소수의 합으로 표현될까요? 몇 가지만 확인해 봅시다.
작은 숫자들:
- 4 = 2 + 2
- 6 = 3 + 3
- 8 = 3 + 5
- 10 = 3 + 7 (또는 5 + 5)
- 12 = 5 + 7
좀 더 큰 숫자들:
- 20 = 3 + 17 (또는 7 + 13)
- 30 = 7 + 23 (또는 11 + 19, 13 + 17)
- 50 = 3 + 47 (또는 7 + 43, 13 + 37, 19 + 31)
- 10,000,000 = 59 + 9,999,941
- 88,888,888 = 89 + 88,888,799
- 100,000,000 = 11 + 99,999,989
- 123,456,782 = 31 + 123,456,751
- 1,000,000,000 = 7 + 999,999,993
신기한 사실은, 숫자가 커지면 커질수록 골드바흐의 추측을 만족하는 ‘소수 쌍’의 개수가 훨씬 많아진다는 점입니다.
- 숫자 10: 3+7, 5+5 (단 2가지 방법)
- 숫자 10,000,000: 수만 가지 방법으로 소수의 합을 만들 수 있어요!
수학자들은 이를 그래프로 나타내기도 하는데, 그 모양이 마치 꼬리가 긴 혜성처럼 생겨서 ‘골드바흐의 혜성(Goldbach’s Comet)’이라고 부른답니다. 숫자가 커질수록 혜성의 꼬리가 점점 두꺼워지는 것을 볼 수 있죠. 지금까지 확인한 모든 짝수는 예외 없이 두 소수의 합으로 나타낼 수 있었습니다.
3. 그런데 왜 아직도 ‘추측’일까요?
수학에서는 아무리 많은 경우를 확인해도, 그것만으로는 ‘정리’로 인정받지 못해요. 무한히 많은 모든 숫자에 대해 논리적으로 증명해야 하거든요.
현재 슈퍼컴퓨터로 400경(4 × 10^18)이라는 어마어마한 숫자까지 확인했지만, 반례는 단 하나도 나오지 않았습니다. 그래도 수학자들은 긴장을 늦추지 않습니다. 혹시 아주 먼 곳 어딘가에 이 규칙을 깨는 ‘단 하나의 예외’가 숨어있을지 모르니까요.
또 희망적인 소식도 전해졌습니다. 바로 약한 골드바흐의 추측이 2013년에 페루의 수학자 하랄드 헬프고트(Harald Helfgott)에 의해 최종 증명되었습니다.
약한 골드바흐의 추측이란 ‘5보다 큰 모든 홀수는 세 소수의 합으로 나타낼 수 있다.’는 것을 의미합니다.
모든 7 이상의 홀수를 3, 5, 7 등 소수 3개의 합으로 나타낼 수 있다고 합니다.
예를 들어 13은 3 + 3 + 7의 합으로 나타낼 수 있고, 21은 13 + 5 + 3등으로 나타낼 수 있습니다. 이 추측은 2013년에 증명이 되었다고하니 골드바흐의 추측의 증명에 한걸음 다가갔다고 할 수 있겠네요.
마치며
골드바흐의 추측은 초등학생도 이해하기는 쉬울정도로 간단해보이는 문제이지만, 증명하기는 가장 어려운 문제 중 하나입니다.
어쩌면 이 글을 읽는 여러분 중 누군가가 미래에 이 280년 된 수수께끼를 풀지도 모르겠네요. 수학의 세계에는 아직 우리가 정복해야 할 미지의 영역이 참 많이 남아 있답니다.