파이를 머금은 수, 배고픈 수, 헝그리수(hungry number) 이야기

오늘은 헝그리수(Hungry number)에 대해서 소개를 시켜드리고자 합니다.

헝그리 수(Hungry number)란?

Hungry number는 원주율 파이(pi)와 관련이 있는 수 입니다. n번째 헝그리 수(Hungry number)는 다음과 같이 설명할 수 있습니다.

얼핏 보면 잘 이해가 안 되실 수도 있는데 예를 살펴보시면 쉽게 이해하실 수 있습니다. 

1. 첫 번째 헝그리 수 : 5

$$ \pi = 3.144159265358979…. $$

파이는 3.141592…로 시작하는 순환하지 않는 무한소수입니다. 무리수인 파이의 첫 번째 수는 3입니다. 2의 제곱을 하여 3이 처음으로 나오는 수가 첫번째 헝그리 수 입니다.

그럼 2를 제곱하여 3이 처음으로 나오는 수는 몇일까요?

$$ 2^1 = 2 $$

$$ 2^2 = 4 $$

$$ 2^3 = 8 $$

$$ 2^4 = 16 $$

$$ 2^5 = 32 $$

2의 5승을 하면 32입니다. 파이의 첫번째 숫자 3이 처음으로 등장합니다.

2의 5승을 했을 때 파이의 첫자리 3이 나왔으므로 첫번째 헝그리 수(Hungry number)는 5입니다.

2. 두 번째 헝그리 수 : 17

두번째 헝그리 수(Hungry number)는 파이의 두 번째 자리까지인 31이 처음으로 등장하는 수입니다.

그럼 파이의 소수 첫째 자리 수까지인 31은 2의 몇 승에서 나올까요? 

2의 17승에 파이가 두 번째 자리까지인 31이 처음으로 등장합니다. 17은 두 번째 헝그리 수(Hungry number)입니다.

3. 세 번째 헝그리 수 : 74

세번째 헝그리 수(Hungry number)는 파이의 세번째 자리까지인 314까지 등장하는 수를 찾아야 합니다. 2를 계속해서 거듭제곱해도 314가 쉽게 등장하지 않습니다. 세 자릿수가 나올 때까지 계속 계산해 봅니다.

2의 n승	값
$$ 2^{18} $$	262,144
$$ 2^{19} $$	524,288
$$ 2^{20} $$	1,048,576
$$ 2^{21} $$	2,097,152
$$ 2^{22} $$	4,194,304
$$ 2^{23} $$	8,388,608
$$ 2^{24} $$	16,777,216
$$ 2^{25} $$	33,554,432
$$ 2^{26} $$	67,108,864
$$ 2^{27} $$	134,217,728
$$ 2^{28} $$	268,435,456
$$ 2^{29} $$	536,870,912
$$ 2^{30} $$	1,073,741,824
$$ 2^{31} $$	2,147,483,648
$$ 2^{32} $$	4,294,967,296
$$ 2^{33} $$	8,589,934,592
$$ 2^{34} $$	17,179,869,184
$$ 2^{35} $$	34,359,738,368
$$ 2^{36} $$	68,719,476,736
$$ 2^{37} $$	137,438,953,472
$$ 2^{38} $$	274,877,906,944
$$ 2^{39} $$	549,755,813,888
$$ 2^{40} $$	1,099,511,627,776
$$ 2^{41} $$	2,199,023,255,552
$$ 2^{42} $$	4,398,046,511,104
$$ 2^{43} $$	8,796,093,022,208
$$ 2^{44} $$	17,592,186,044,416
$$ 2^{45} $$	35,184,372,088,832
$$ 2^{46} $$	70,368,744,177,664
$$ 2^{47} $$	140,737,488,355,328
$$ 2^{48} $$	281,474,976,710,656
$$ 2^{49} $$	562,949,953,421,312
$$ 2^{50} $$	1,125,899,906,842,624
$$ 2^{51} $$	2,251,799,813,685,248
$$ 2^{52} $$	4,503,599,627,370,496
$$ 2^{53} $$	9,007,199,254,740,992
$$ 2^{54} $$	18,014,398,509,481,984
$$ 2^{55} $$	36,028,797,018,963,968
$$ 2^{56} $$	72,057,594,037,927,936
$$ 2^{57} $$	144,115,188,075,855,872
$$ 2^{58} $$	288,230,376,151,711,744
$$ 2^{59} $$	576,460,752,303,423,488
$$ 2^{60} $$	1,152,921,504,606,846,976
$$ 2^{61} $$	2,305,843,009,213,693,952
$$ 2^{62} $$	4,611,686,018,427,387,904
$$ 2^{63} $$	9,223,372,036,854,775,808
$$ 2^{64} $$	18,446,744,073,709,551,616
$$ 2^{65} $$	36,893,488,147,419,103,232
$$ 2^{66} $$	73,786,976,294,838,206,464
$$ 2^{67} $$	147,573,952,589,676,412,928
$$ 2^{68} $$	295,147,905,179,352,825,856
$$ 2^{69} $$	590,295,810,358,705,651,712
$$ 2^{70} $$	1,180,591,620,717,411,303,424
$$ 2^{71} $$	2,361,183,241,434,822,606,848
$$ 2^{72} $$	4,722,366,482,869,645,213,696
$$ 2^{73} $$	9,444,732,965,739,290,427,392
$$ 2^{74} $$	18,889,465,931,478,580,854,784

드디어 314가 나왔습니다. 다음으로 314가 등장하는 수는 2의 74승입니다. 이 수는 23자리 수에 해당하는 아주 큰 수입니다.

4. 네 번째, 다섯 번째 헝그리수 : 144

이런 과정을 반복하면서 수를 계속해서 찾아나갈 수 있습니다. 다행히(?) 다음으로 등장하는 4번째, 5번째 헝그리 수는 3141과 31415가 함께 등장합니다.

네번째, 다섯번째 헝그리 수(Hungry number)는 144입니다.

2의 144승은 44자리 수인데, 이 수에는 파이의 3141, 31415까지 등장합니다.

5. 여섯 번째, 일곱 번째 헝그리수 : 2003

여섯 번째와 일곱 번째 헝그리수도 같은 수입니다. 2의 2003승을 하면 603자리의 거대한 수가 나옵니다. 그 안에 수의 배열을 살펴보면 314159와 3141592가 함께 등장합니다. 

2의 2003승: 918504556219403619386266560942145587217854161670956160382114189460613009113896251085327589053205015934756771711189970218757695168690444265140745084933322548313039913162498240005510233185920358971431415920507889958252923709171106911578536208323730831767239972465299190471557036844986493196289313775762661450753351271875668044819035878463312471207478212003432021733653006644176065057890250334090143066537652791963171345016174238867232337278825466012327115471216735364439662268717376313280655657733044662043043404669808124226790291355456436071322206271061001403484230406582742166543723630097478809192235008

6. 여덟 번째 헝그리수: 37,929

8번째 그 이후에 나오는 헝그리 수는 컴퓨터의 도움이 아니라면 찾기가 어려울 것 같습니다.

8번째 헝그리수는 37,929입니다. 2의 37,929승을 하면 무려 11,418자리가 됩니다. 7,828번째 자리에 파이 8자리의 수인 [31415926]가 숨어있습니다.

2의 37929승: 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정리

왜 2의 거듭제곱 사이에 파이를 포함한 수를 배고픈 수라고 이름을 지었을까요? 정확한 이유는 모르겠지만 제 나름대로 추측해 보면 원주율을 의미하는 파이(pi)는 음식(pie)과도 같은 발음이 납니다. 2의 거듭제곱 사이에 파이를 품고 있는(먹고 있는) 수 이기 때문에 그렇게 이름을 짓지 않았을까 생각합니다.

첫 번째부터 여덟번째 헝그리 수 (Hungry number)를 정리하면 아래와 같습니다.

순	Hungry number	파이수
1	5	3
2	17	31
3	74	314
4	144	3141
5	144	31415
6	2003	314159
7	2003	3141592
8	37929	31415926
9	82810	314159265
10	161449	3141592653
11	712201	31415926535
12	2401519	314159265358
13	7339199	3141592653589
14	33662541	31415926535897

지금까지 알려진 Hungry number 5, 17, 74, 144, 144, 2003, 2003, 37929, 82810, 161449, 712201, 2401519, 7339199, 33662541라고 합니다.

수는 무한히 많으니 2의 거듭제곱 어딘가에 더 많은 파이 속의 수들이 숨어있겠지요?

2의 거듭제곱을 계속했을 때 파이를 사이에 품은 배고픈 수에 대한 이야기였습니다.

감사합니다 : )