목차
수학자들은 숫자의 약수들을 모두 더해보고, 그 합이 원래 숫자와 어떤 관계가 있는지에 따라 숫자를 세 가지 종류로 나누었습니다.
1. “나는 조금 모자라요” – 부족수 (Deficient Number)
세상의 아주 많은 숫자가 여기에 속해요.
자기 자신을 제외한 약수들을 모두 더했을 때, 원래 숫자보다 작은 경우를 말합니다.
예를 들어 8을 살펴볼까요?
완전수란 자기 자신을 제외한 약수의 합이 원래 숫자와 같은 경우를 말합니다. 예를 들어, 6은 1, 2, 3의 약수를 가지고 있으며, 이들의 합인 1 + 2 + 3 = 6이 원래 숫자와 같습니다. 이러한 특징을 가진 숫자를 완전수라고 부릅니다.
8의 약수는 1, 2, 4, 8입니디. 자기 자신(8)을 빼고 더하면 $$ 1 + 2 + 4 = 7 $$ 입니다.
$$7 < 8$$ 이니까, 8은 부족수입니다!
2. “나는 아주 넉넉해요” – 과잉수 (Abundant Number)
약수들을 더했더니 원래 숫자보다 더 커지는 욕심쟁이 숫자들도 있어요.
12를 예로 들어볼까요?
12의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 12입니다.
자기 자신(12)을 빼고 더하면 $$ 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 $$ 이죠.
$$ 16 > 12 $$ 이니까, 12는 약수의 합이 자기 자신(12)보다 더 큰 과잉수랍니다!
3. “나는 아주 완벽해요” – 완전수 (Perfect Number)
그런데 신기하게도 자기 자신을 제외한 약수를 모두 더하면, 정확히 자기 자신과 똑같아지는 아주 희귀한 숫자들이 있습니다. 마치 거울을 보는 것처럼 완벽한 조화를 이루죠.
가장 작은 완전수는 6입니다.
6의 약수는 1, 2, 3, 6입니다. 자기 자신(6)을 빼고 더하면
$$ 1 + 2 + 3 = 6 $$
자기 자신을 제외한 약수의 합이 정확히 자기 자신과 똑같아 지는 6은 첫번째 완전수입니다.
고대 그리스의 피타고라스 학파는 수의 완전성을 중요하게 생각하여, 이러한 수를 ‘완전수’라고 부르며 신비로운 의미를 부여했습니다.
대표적인 완전수로 6, 28, 496, 8128이 있습니다.
4. 메르센 소수와 완전수의 비밀스러운 관계
혹시 기억하시나요?
지난번 글에서 메르센 소수를 찾으면 엄청난 보너스가 따라온다고 했었죠?
고대 그리스의 수학자 유클리드는 아주 놀라운 공식을 발견했어요.
유클리드는 그의 저서 《기하학 원론(Elements)》 제9권에서
“어떤 수들이 1부터 시작해서 2배씩 계속 커지는 수열(1, 2, 4, 8, 16 ….)이 있을 때, 이들을 처음부터 어느 지점까지 더해서 소수가 된다면, 그 합에 마지막 숫자를 곱한 결과는 완전수가 된다”는 것을 증명했습니다.
유클리드가 살던 시기에 메르센 소수라는 명칭이 있었던 것은 아닙니다. 기원전 2,300년 전의 유클리드와 17세기 메르센 신부님 사이에는 어마어마한 시간의 벽이 있었습니다.
유클리드는 후대에 메르센 소수라고 이름이 붙어진
$$ 2^n – 1 $$
형태의 소수를 통해 완전수를 만들어내는 방법을 증명을 한 것입니다.
만약 M이 메르센 소수라면, $$ M \times (M+1) \div 2 $$를 계산한 결과는 항상 완전수가 된답니다.
예를 들어볼까요?
메르센 소수 3으로 만들기:
$$3 \times (3+1) \div 2 = \mathbf{6} $$ (첫 번째 완전수!)
메르센 소수 7로 만들기:
$$ 7 \times (7+1) \div 2 = \mathbf{28} $$ (두 번째 완전수!)
메르센 소수 31로 만들기:
$$ 31 \times (31+1) \div 2 = \mathbf{496} $$ (세 번째 완전수!)
| 순 | 완전수 | 약수 | 메르센 소수 | 메르센 소수와의 관계 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 6 | 1, 2, 3, 6 | $$2^2-1$$ | $$(2^2-1) \times 2^{2-1} = 6$$ |
| 2 | 28 | 1, 2, 4, 7, 14, 28 | $$2^3-1$$ | $$(2^3-1) \times 2^{3-1} = 28 $$ |
| 3 | 496 | 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248, 496 | $$2^5-1$$ | $$(2^5-1) \times 2^{5-1} = 496 $$ |
| 4 | 8128 | 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 254, 508, 1016, 2032, 4064, 8128 | $$2^7-1$$ | $$(2^7-1) \times 2^{7-1} = 8128 $$ |
| 5 | 33550336 | 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8191, 16382, 32764, 65528, 131056, 262112, 524224, 1048448, 2096896, 4193792, 8387584, 16775168, 33550336 | $$2^{13}-1$$ | $$(2^{13}-1) \times 2^{13-1} = 33550336 $$ |
| … | … | … | … | … |
이처럼 메르센 소수를 이용하면 완전수를 쉽게 찾을 수 있답니다.
메르센 소수와 완전수는 마치 영혼의 단짝처럼 연결되어 있어요. 하나가 발견되면 나머지 하나도 자동으로 발견되는 셈이죠.
2026년 현재, 우리는 몇 개의 완전수를 알고 있을까요?
완전수는 찾기가 정말 어려워요. 1부터 10,000까지 숫자 중에서 완전수는 단 4개(6, 28, 496, 8128)뿐입니다. 5번째 완전수는 33550336로 무려 8자리 수입니다. 2024년 말에 52번째 메르센 소수가 발견되었다고 말씀드렸죠? 그 말은 즉, 2026년 현재 인류가 알고 있는 완전수도 총 52개라는 뜻입니다!
가장 최근에 발견된 52번째 완전수는 숫자가 너무 커서 자릿수만 무려 8,000만 자리가 넘어요. 이 숫자를 다 읽으려면 잠도 자지 않고 몇 년을 읽어야 할지도 모른답니다. 정말 어마어마한 ‘완벽함’이죠?
아직까지 완전수가 유한한지 무한한지는 밝혀지지 않았습니다. 메르센 소수와의 관계를 생각한다면 메르센 소수가 무한히 많다면 완전수도 무한히 많다고 할 수 있겠지요? 하지만 아직 메르센 소수가 무한한지도 밝혀지지는 않았습니다. 수학은 아직은 밝혀지지 않은 무궁무진한 수수께끼들로 가득하답니다.
마치며: 홀수 완전수는 어디에 있을까?
수학자들에게는 아직 풀지 못한 숙제가 하나 남아있어요. 지금까지 발견된 52개의 완전수는 모두 짝수였거든요.
“과연 세상에 ‘홀수인 완전수’도 존재할까?”
“과연 세상에 ‘홀수인 완전수’도 존재할까?”
이 질문은 수천 년 동안 수많은 수학자가 도전했지만, 아직 아무도 답을 찾지 못했습니다. 어쩌면 홀수 완전수는 우주 어딘가에 숨어있을지도, 아니면 아예 존재하지 않을지도 몰라요.
여러분도 오늘 배운 6과 28처럼, 주변의 숫자들을 더해보며 나만의 특별한 숫자를 찾아보는 건 어떨까요? 수학은 이처럼 숨겨진 질서를 찾아내는 즐거운 탐험이랍니다!
[활동지] 숫자 성격 진단 클리닉
아이들과 함께 수의 속성(완전수, 과잉수, 부족수)를 탐험해보세요. 관련 활동지는 아래 링크를 통해 다운받으실 수 있습니다.
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