종이를 어디까지 접을 수 있을까? 거듭제곱의 힘
누구나 한 번쯤 종이를 접어본 경험이 있을거에요. 그런데 이 종이를 반으로 접고 접고 접었을 때 어디까지 접을 수 있을까요?
거듭제곱은 종이를 접는 횟수에 따라 두께가 기하급수적으로 증가하는 과정을 설명합니다.
종이를 반으로 접어나가는 방법은 크게 두 가지로 나뉠 수 있습니다.
첫번째는 반으로 접고 90도를 돌려 반으로 접고 다시 돌려 반으로 접어나가는 방법입니다.
두번째는 돌리지 않고 계속해서 반으로 접어나가는 방법입니다.
실제로 종이를 접어보면 한계가 있다는 것을 깨달을 수 있습니다. 일반적인 종이는 아무리 힘이 센 사람도 7~8번 이상 접기가 정말 어렵습니다. 종이는 접을수록 면적은 절반으로 줄어드는 반면 두께가 2배씩 두꺼워지면서 접는 데 필요한 힘이 기하급수적으로 늘어나기 때문입니다. 면적이 작아지면서 한 겹 한 겹이 엄청난 저항을 만들어내거든요. 종이 한 장을 접는 건 쉽지만 국어사전 두께의 종이를 접으려고 하면 정말 많은 힘이 필요할 것입니다.
종이접기 세계기록
기네스북에 등재된 종이를 가장 많이 접은 횟수는 얼마일까요?
2002년 1월 27일, 미국 캘리포니아에 거주하던 브리트니 갤리번(Britney Gallivan)이 달성한 12회입니다. 학교 선생님이 종이를 12번 접어보라는 과제를 내주셨다고합니다. 학교선생님은 종이를 12번 접는 일에 아무도 성공한 사람이 없기 때문에 불가능하다고 생각하고 과제를 제출을 했는데 브리트니는 그 문제를 어떻게 풀 수 있을까를 고민하면서 도전해보기로 합니다.
브리트니 갤리번은 종이를 접어보니 접힌 가장자리로 인해 종이를 접을 수 있는 크기가 작아진다는 사실을 알게 됩니다. 그래서 두 번째 방법을 사용하여 아주 긴 종이를 이용하여 접기로 합니다. 종이를 12번 접기 위해서는 약 1.2km에 달하는 엄청나게 길쭉한 종이가 필요하다는 사실을 알게 되었고, 도전한 결과 종이를 12번 반으로 접는 세계신기록을 세우게 됩니다.
종이를 n번 접기 위한 길이를 구하는 공식
종이를 접을 때, 무슨 일이 벌어지는가를 생각해 봅시다.
- 접을수록 겹겹이 쌓이면서 두께는 2 → 4 → 8 → 16 →…으로 지수적으로 증가합니다.
- 매 접을 때 중간 부분에서는 종이가 말리는 곡률 부분이 생겨서 일부 길이(또는 폭)가 “말려버려져서” 실제로 접는 데 사용되지 않는 부분이 생기게 됩니다.
- 이 “실제 사용 불가능한 부분 손실”을 고려해 각 접기 마다 길이 손실을 합해서 계산해주어야 합니다.
브리티니 갤리번이 종이를 n번 접기 위해 필요한 종이의 길이를 아래의 식으로 제시하였습니다.
1) 한 방향으로만 접는 경우 (긴 띠 모양의 종이)
여기서 L: 접으려는 종이의 최소 길이, t: 종이의 두께, n: 접는 횟수 입니다.
종이의 두께를 0.1mm일 때 종이를 12번 접으면 필요한 종이의 길이는 약 879,508mm가 됩니다. m로 나타내면 879.5m정도 되는 길이입니다.
2) 대체 방향(Alternate-direction folding), 즉 접는 방향을 번갈아 가며 접는 경우의 폭 한계 공식 근사치
여기서 W: 정사각 또는 폭이 일정한 종이의 필요 폭(width), t: 두께, n: 접는 횟수입니다.
종이의 두께를 0.1mm일 때 종이를 12번 접으려면 이 때 필요한 종이의 폭은 약 29,102mm입니다. 가로, 세로 29m정도 되는 엄청 큰 종이입니다.
상상 속 종이 쌓기: 종이를 접으면 어디까지 높아질까?
그렇다면 종이를 접을 때 물리적인 어려움은 없다고 상상해봅시다. 종이를 접으면 점차 작아지고 두께가 두꺼워지면서 접기가 힘드니, 종이를 한 번 접는 것을 종이를 겹쳐 쌓는다고 가정하면 접었을 때 종이의 두께를 짐작해볼 수 있습니다.
종이 한 장의 두께를 약 0.1밀리미터(mm) 정도라고 생각해보겠습니다. 우리 눈에는 아주 얇게 느껴지는 두께입니다. 이제 이 0.1mm 두께의 종이를 쌓으면서 높이가 어떻게 변하는지를 살펴보겠습니다.
| 종이 접은 횟수 | 종이 겹 수 | 종이 두께 |
|---|---|---|
| 1 | 2 | 0.1mm * 2 = 0.2mm |
| 2 | 22 | 0.2mm * 2 = 0.4mm |
| 3 | 23 | 0.4mm * 2 = 0.8mm |
| 4 | 24 | 0.8mm * 2 = 1.6mm |
| 5 | 25 | 1.6mm * 2 = 3.2mm |
| 6 | 26 | 3.2mm * 2 = 6.4mm |
| 7 | 27 | 3.2mm * 2 = 12.8mm = 1.28cm |
| 8 | 28 | 1.28cm * 2 = 2.56cm |
| 9 | 29 | 2.56cm * 2 = 5.12cm |
| 10 | 210 | 5.12cm * 2 = 10.24cm |
| 11 | 211 | 10.24cm * 2 = 20.48cm |
| 12 | 212 | 20.48cm * 2 = 40.96cm |
| 13 | 213 | 40.96cm * 2 = 81.92cm |
| 14 | 214 | 81.92cm * 2 = 163.84cm = 1.6384m |
| 15 | 215 | 1.6384m * 2 = 3.2768m |
| 16 | 216 | 3.2768m * 2 = 6.5536m |
| 17 | 217 | 6.5536m * 2 = 13.1072m |
| 18 | 218 | 13.1072m * 2 = 26.2144m |
| 19 | 219 | 26.2144m * 2 = 52.4288m |
| 20 | 220 | 52.4288m * 2 = 104.8576m |
| 21 | 221 | 104.8576m * 2 = 209.7152m |
| 22 | 222 | 209.7152m * 2 = 419.4304m |
| 23 | 223 | 419.4304m * 2 = 838.8608m |
| 24 | 224 | 838.8608m * 2 = 1677.7216m = 1.6777216km |
| 25 | 225 | 1.6777216km * 2 = 3.3554432km |
| 26 | 226 | 3.3554432km * 2 = 6.7108864km |
| 27 | 227 | 6.7108864km * 2 = 13.4217728km |
| 28 | 228 | 13.4217728km * 2 = 26.8435456km |
| 29 | 229 | 26.8435456km * 2 = 53.6870912km |
| 30 | 230 | 53.6870912km * 2 = 107.3741824km |
| 31 | 231 | 107.3741824km * 2 = 214.7483648km |
| 32 | 232 | 214.7483648km * 2 = 429.4967296km |
| 33 | 233 | 429.4967296km * 2 = 858.9934592km |
| 34 | 234 | 858.9934592km * 2 = 1,717.9869184km |
| 35 | 235 | 1717.9869184km * 2 = 3,435.9738368km |
| 36 | 236 | 3435.9738368km * 2 = 6,871.9476736km |
| 37 | 237 | 6871.9476736km * 2 = 13,743.8953472km |
| 38 | 238 | 13743.8953472km * 2 = 27,487.7906944km |
| 39 | 239 | 27487.7906944km = 54,975.5813888km |
| 40 | 240 | 54975.5813888km * 2 = 109,951.1627776km |
| 41 | 241 | 109,951.1627776km * 2 = 219,902.3255552km |
| 42 | 242 | 219,902.3255552km * 2 = 439,804.6511104km |
| 43 | 243 | 439,804.6511104km * 2 = 879,609.3022208km |
| 44 | 244 | 879,609.3022208km * 2 = 1,759,218.6044416km |
| 45 | 245 | 1,759,218.6044416km * 2 = 3,518,437.2088832km |
| 46 | 246 | 3,518,437.2088832km * 2 = 7,036,874.4177664km |
| 47 | 247 | 7,036,874.4177664km * 2 = 14,073,748.8355328km |
| 48 | 248 | 14,073,748.8355328km * 2 = 28,147,497.6710656km |
| 49 | 249 | 28,147,497.6710656km * 2 = 56,294,995.3421312km |
| 50 | 250 | 56,294,995.3421312km * 2 = 112,589,990.6842624km |
평범한 종이 속의 놀라운 ‘거듭제곱’ 마법
접을 때마다 두께가 2배씩 늘어는 것을 알 수 있습니다. 이걸 수학에서는 ‘거듭제곱’이라고 부릅니다.
- 7번 접으면? (브리트니가 접었다는 종이의 절반쯤 되는 기록) 27=128 겹이 돼요. 두께는 0.1mm×128=12.8mm 입니다. 겨우 1cm 조금 넘는 두께죠. 아직까진 별거 아니라고 생각할 수 있어요.
- 10번 접으면? 1,024 겹! 벌써 1천 겹이 넘어요. 두께는 0.1mm×1024=102.4mm (약 10.2cm). 책 한 권보다 두꺼워지겠네요.
- 12번 접으면? (브리트니가 접었다는 기록) 4096겹! 두께는 0.1mm x 4,096 = 409.6mm (약 41cm)입니다.
- 20번 접으면? 220 = 1,048,576 겹! 1백만 겹이 넘습니다. 두께는 0.1mm×1,048,576=104,857.6mm (약 104.8m). 30층짜리 건물보다도 높아집니다.
- 30번 접으면? 230 ≈ 10억 겹! 두께는 0.1mm×10억 =100,000,000mm (약 100km). 우리가 숨 쉬는 대기의 끝, 즉 우주의 경계선과 맞먹는 높이가 됩니다!
- 42번 접으면? 242 ≈ 4조 4천억 겹! 0.1mm×242는 약 440,000km가 됩니다! 지구에서 달까지의 거리는 약 38만 킬로미터(km)인데 그 거리를 훌쩍 넘어버립니다.
- 50번 접으면? 250 ≈ 1125조 겹! 0.1mm×250은 약 112,589,990km입니다. 지구에서 태양까지의 거리는 약 1억5천만km입니다. 아쉽게 태양까지는 닿지는 못하는 거리이지만 한 번만 더 종이를 접으면 지구에서 태양까지의 거리를 훌쩍 넘어버립니다.
- 100번 접으면? 2100 ≈ 126양 겹입니다. 2100 은 1,267,650,600,228,229,401,496,703,205,376이나 되는 31자리 수입니다. 0.1mm ×2100을 하면 약 1267해 km에 해당하는 크기입니다. 1광년이 약 9조 4600억km이므로 약 134억광년에 해당할 정도로 엄청나게 길어집니다. 관측가능한 우주의 크기가 960억광년정도 되니 이론상으로는 종이를 103번만 접으면 약 1072억 광년의 길이만큼 되니 우주의 크기를 넘어서게 됩니다.
평범하게 얇디 얇은 종이를 단 몇 번만 겹쳐 놓았을 뿐인데, 그 두께가 지구를 넘어 우주까지도 닿을 수 있다는 사실이 정말 놀랍지 않나요?
이것이 바로 ‘거듭제곱(Exponential growth)’이 가진 무시무시한 힘입니다. 처음에는 느리게 늘어나는 것 같지만, 어느 순간부터 상상을 초월하는 속도로 불어나는 마법 같은 현상입니다.
마무리
비록 상상 속에서 일어난 일들이긴 하지만 우리가 일상에서 접하는 얇은 종이 한 장이, 반복적인 접기를 통해 어떻게 상상을 초월하는 두께로 변모하는지 살펴보았습니다. 이론적으로 42번 접으면 달에, 51번 접으면 태양에, 103번 접으면 관측 가능한 우주의 크기를 넘어서는 놀라운 사실까지 알게 되었습니다. 이처럼 거듭제곱의 마법은 처음에는 미미하게 시작하지만, 급격히 증가하는 성장 패턴을 보여준다는 사실이 놀랍게 느껴집니다.
이 글로 인해 수학에 흥미를 느끼고 행복한 시간이 되셨길 희망합니다. 감사합니다.