행복수(Happy number)와 불행수(unhappy number)
숫자는 단순한 기호이지만, 오랜 세월 동안 사람들은 숫자에 특별한 의미를 부여하며 살아왔습니다. 특히 몇몇 숫자는 ‘불길하다’는 이유로 꺼려지곤 했는데, 그 배경은 문화마다 조금씩 다릅니다.
대표적인 4라는 수는 한국과 중국, 일본 같은 동아시아 문화권에서는 불길한 수로 취급되곤 합니다. 한자 ‘사(四)’의 발음이 ‘죽을 사(死)’와 같기 때문이죠. 그래서 병원이나 아파트 엘리베이터에서 4층을 ‘F층’으로 표기하거나 아예 건너뛰는 경우도 있습니다.
반대로 피타고라스 학파, 힌두교 등에서 4는 조화와 균형, 충성, 전체성을 의미하는 수라고 합니다. 네잎클로버는 행운을 상징하는 것처럼 4의 의미가 문화권이나 발음의 유사성에 따라 숫자에 부여되는 의미가 달라지곤 했습니다.
이와 같은 문화적 상황이나 미신과는 별개로 수에도 행복한 수와 불행한 수가 있다는 사실을 아시나요?
수학자들은 종종 숫자에 속성을 부여하기도 합니다. 오늘 소개 드리고 싶은 수는 행복수(Happy number)입니다.
행복수의 정의 행복수를 정의하기 위해 하나의 함수 S(n)를 하나 정의해보도록 하겠습니다.
$$ S(n) = n의\ 각\ 자리\ 숫자를\ 곱해서\ 모두\ 더한\ 값 $$
예를 들어서 94를 이 함수에 넣으면 97이 나옵니다.
$$ S(94) = 9^2 + 4^2 = 81 + 16 = 97 $$
이 과정을 계속 반복해 나가면 특정한 수열을 얻을 수 있습니다.
$$ S(n) \to S(S(n)) \to S(S(S(n))) \to S(S(S(S(n)))) \to ….. $$
94를 예로 들어보면 마지막에는 1이 됩니다.
$$ S(94) \to S(97) \to S(130) \to S(10) \to S(1) $$
94처럼 이 과정을 반복하다가 결국 1에 도달한다면, 그 수를 행복수라고 부릅니다.
만약 1에 도달하지 못하고 특정한 순환 고리(loop)에 빠진다면, 그 수는 불행수입니다.
예를 들어 61은 1에 도착하지 않고 계속 순환하는 루프에 빠지게 됩니다. S(61)과 S(16)의 값은 37로 같기 때문입니다.
$$ S(61) \to S(37) \to S(58) \to S(89) \to S(145) \to S(42) \to S(20) \to S(4) \to S(16) \to S(37) \to … $$
그래서 61은 불행수입니다.
계산하는 과정에서 행복수가 나온다면 그 결과는 1로 수렴하지만, 계산 과정에서 3, 4, 27, 61, 89…등 불행수로 판명된 수가 나온다면 그 결과는 불행수가 됩니다.
행복수와 불행수, 어떤 수가 있을까?
직관적으로 쉽게 알 수 있는 행복수는 1, 10, 100, 1000과 같은 수들이 있습니다. 이 수들은 바로 1이 되어버립니다.
서양에서 불길하다고 여기는 13이라는 수도 이 방식을 이용하면 행복수가 됩니다. 마찬가지로 31도 행복수가 됩니다.
$$ S(13) \to S(10) \to S(1) : 행복수! $$
동양권에서 불행한 수라고 생각하는 4는 루프에 빠져 불행한 수입니다.
$$ S(4) \to S(16) \to S(37) \to S(58) \to S(89) \to S(145) \to S(42) \to S(20) \to S(4) \to … : 불행수 $$
하지만 44는 44→32→13→10→1 행복수입니다.
$$ S(44) \to S(32) \to S(13) \to S(10) \to S(1) : 행복수 $$
1000 이하의 행복수를 찾아보면 아래와 같습니다. 이렇게 하나 둘 찾아나가면 무수하게 많은 행복수를 찾을 수 있습니다.
1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97, 100, 103, 109, 129, 130, 133, 139, 167, 176, 188, 190, 192, 193, 203, 208, 219, 226, 230, 236, 239, 262, 263, 280, 291, 293, 301, 302, 310, 313, 319, 320, 326, 329, 331, 338, 356, 362, 365, 367, 368, 376, 379, 383, 386, 391,392, 397, 404, 409, 440, 446, 464, 469, 478, 487, 490, 496, 536, 556, 563, 565, 566, 608, 617, 622, 623, 632, 635, 637, 638, 644, 649, 653, 655, 656, 665, 671, 673, 680, 683, 694, 700, 709, 716, 736, 739, 748, 761, 763, 784, 790, 793, 802, 806, 818, 820, 833, 836, 847, 860, 863, 874, 881, 888, 899, 901, 904, 907, 910, 912, 913, 921, 923, 931, 932, 937, 940, 946, 964, 970, 973, 989, 998, 1000
연속되어 나타나는 행복수
행복수는 신기하게도 연속해서 나타날 때가 있습니다.
행복수가 2개 연속으로 처음 나타나는 곳은 31부터입니다. 31, 32는 행복수입니다. 192, 193도 행복수이고요.
3개 연속은 1880부터(1880, 1881, 1882),
4개 연속은 7839부터(7839, 7840, 7841, 7842),
5개 연속은 44488부터(44488, 44489, 44490, 44491, 44492) 나타난다고 해요.
그럼 6개 연속, 7개 연속, 연속적으로 길게 등장하는 경우도 있을까요?
수학자 El-Sedy와 Siksek은 더 나아가, 행복수가 연속으로 아무리 길게라도 등장할 수 있다는 사실을 증명했다고 합니다. 즉, 100개 연속 행복수, 1000개 연속 행복수도 무한한 수의 세계 어딘가에서는 나타날거에요.
마무리
숫자는 단순히 크기를 나타내는 기호를 넘어, 흥미로운 속성과 이야기를 품고 있습니다.
문화적 의미를 넘어 수학적인 관점에서 바라본 ‘행복수’와 ‘불행수’는 단순한 반복 계산 속에서 ‘1’이라는 종착점에 도달하는 행복한 수와 순환 고리에 빠지는 불행한 수로 나뉩니다. 특히 무한히 긴 연속된 행복수열이 존재한다는 사실은, 수학의 세계가 얼마나 예측 불가능하고 아름다운지를 다시 한번 느끼게 합니다.
긴 글 읽어주셔서 감사합니다!