큰 수 만들기: 구골 가족을 소개합니다[큰 수 시리즈4]

1. 큰 수를 연구하는 학문: 구골로지

여러분이 친구들과 “누가 더 큰 수를 만들까?” 게임을 한다고 상상해 봅시다. 처음에는 “백만!”, “억!” 이렇게 외치지만, 점점 더 큰 수를 만드는 것이 어려워집니다.

바로 이 질문에 빠져든 사람들이 생겨났습니다:

“가장 큰 수는 뭘까?”
“더 빠르게 큰 수를 만드는 방법은?”
“이 수들에 어떤 이름을 붙일까?”

이런 큰 수를 체계적으로 연구하고 이름을 붙이는 학문을 구골학(Googology)이라고 부릅니다!

구골학(Googology) = 구골(Googol) + -ology(학문)

구골스미스는 무엇을 할까요?

구골학자들은 스스로를 ‘구골스미스(Googolsmith)’라고 부릅니다.

‘Smith’는 ‘대장장이’라는 뜻인데, 마치 대장장이가 쇠를 두드려 칼을 만들듯이, 이들은 수학 규칙을 두드려 새로운 큰 수를 만들어냅니다!

새로운 이름 짓기: 큰 수에 멋진 이름을 붙입니다
더 강력한 방법 개발: 숫자를 더 빠르게 키우는 새로운 규칙을 만듭니다
크기 비교하기: 어떤 수가 더 큰지 연구합니다

2. 구골: 모든 것의 시작

구골을 지수표현으로 나타내면 다음과 같습니다.

구골(Googol) = $10^{100}$

이 수는 1 뒤에 0이 100개 붙은 수입니다!

10,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000

(이렇게 쓰면 한 줄을 넘어갑니다!)

구골은 계승(팩토리얼)을 이용해 나타내면 $70!$ (1부터 70까지 모두 곱한 수)

1부터 70까지 모두 곱한 수가 구골과 비슷한 크기입니다.

참고로 여러분이 매일 사용하는 구글 검색엔진의 이름이 바로 이 ‘구골’에서 왔습니다!

창업자들은 “전 세계의 엄청난 정보를 정리하겠다”는 뜻으로 원래 이름을 구골(Googol)이라고 지으려고 했으나 철자를 잘못 써서 구글(Google)이 되었다는 에피소드가 있습니다.

3. 첫 번째 구골 가족: -플렉스(-plex)

1) 구골플렉스

9살 밀턴은 구골을 만든 후에 또 물었습니다 “더 큰 수도 만들 수 있나요?”

캐스너 교수가 물었습니다: “그럼 어떻게 만들면 좋을까?”

밀턴은 대답했습니다: “종이가 다 떨어질 때까지 0을 쓰는 거예요!”

캐스너 교수는 웃으며 말했습니다: “그건 사람마다 다르겠구나. 정확하게 정의하자. 1 뒤에 0을 구골 개 붙이는 거야!“

이렇게 탄생한 것이 구골 플렉스(Googolplex)입니다.

구골플렉스 = $10^{구골} = 10^{10^{100}}$

2) 구골플렉스는 얼마나 클까요?

0 하나를 쓰는 데 1mm가 필요하다고 가정했을 때, 구골플렉스를 적으려면 우주 전체를 종이로 채워도 턱없이 부족합니다! 빛의 속도로 억만 년을 가도 이 숫자의 끝에 도달할 수 없을 정도로 큰 수 입니다.

3) 플렉스 가족들

구골 플렉스가 탄생하자, 사람들은 ‘-플렉스’를 계속 붙이기 시작했습니다!

이름	수학 표기	지수 탑 높이	비고
구골	$10^{100}$	1층	1뒤에 0이 100개
구골 플렉스	$10^{10^{100}}$	2층	1 뒤에 0이 구골 개
구골 듀플렉스	$10^{10^{10^{100}}}$	3층	구골플렉시안이라고도 함 1뒤에 0이 구골 플렉스 개
구골 트리플렉스	$10^{10^{10^{10^{100}}}}$	4층	1뒤에 0이 구골 듀플렉스 개
구골 쿼드루플렉스	$10^{10^{10^{10^{10^{100}}}}}$	5층	1뒤에 0이 구골 트리플렉스 개

4. 두 번째 구골 가족: -뱅(-bang)

1) 뱅(Bang)이란? 계승(팩토리얼)의 힘!

‘-뱅(-bang)’은 ‘팡!’ 하는 폭발 소리 같죠? 이 접미사는 계승(팩토리얼, !)*을 의미합니다.

* 계승(팩토리얼)은 어떤 수부터 1까지 차례대로 곱하는 것을 말합니다. 숫자 뒤에 !를 붙여서 표현합니다. (조금 더 자세한 내용은 아래 글을 참고해주세요.)

0! = 1인 이유 [팩토리얼 알아보기]

2) 구골뱅: 구골의 폭발!

구골뱅(Googolbang) = 구골! = $(10^{100})!$

이것은 1부터 구골까지 모든 숫자를 곱한다는 뜻입니다!

$1 \times 2 \times 3 \times 4 \times … \times 10^{100}$

약 $70!$ 이 약 구골( $10^{100}$ )정도 되는 크기라고 했지요? 1부터 구골까지 모두 곱한 수는 얼마나 큰 수 인지 상상이 가시나요?

3) 구골뱅 VS 구골플렉스: 누가 더 클까?

그럼 구골뱅과 구골플렉스 중 어느 것이 더 클까요?

정답: 구골뱅이 훨씬 더 큽니다!

이유를 알아봅시다

구골플렉스는 10을 구골 번 곱한 수 입니다.

$10 \times 10 \times 10 \times … \times 10$ (구골 번)

구골뱅은 1부터 구골까지 모두 곱한 수 입니다.

$1 \times 2 \times 3 \times … \times 10^{100}$

구골플렉스와 구골뱅 모두 구골번 곱한 수입니다. 그런데 구골플렉스는 항상 10만 곱해나가지만, 구골뱅은 10보다 큰 수들(11, 12, 13, … 구골)을 계속 곱해나가기 때문에 구골뱅이 훨씬 큽니다.

수학자들이 계산해보니

구골뱅 ≈ $10^{9.956 \times 10^{101}}$ (자릿수가 약 $9.95 \times 10^{101}$ )

구골플렉스 = $10^{10^{100}}$ (자릿수가 $10^{100}$ )

정도 되므로, 구골뱅의 자릿수가 약 100배 더 많습니다!

4) -뱅 가족들

구골뱅 이후에도 계속 확장됩니다!

이름	수학 표기	설명
구골뱅	$(10^{100})!$	구골의 계승
구골플렉스뱅	$(10^{10^{100}})!$	구골플렉스의 계승
구골듀뱅	$((10^{100})!)!$	구골뱅의 계승!

계승 연산은 지수 연산보다 훨씬 빠르게 숫자를 키웁니다!

5. 세번째 구골 가족: -스택(-stack) 가족들

테트레이션*을 활용한 구골 가족들을 소개합니다.

테트레이션이이란 거듭제곱을 반복하여 나타내는 연산법입니다. (자세한 내용은 아래글을 참고해주세요)

큰 수를 만드는 2가지 방법: 지수법과 커누스 표기법 [큰 수 시리즈3]

1) 구골스택: 구골 층의 탑!

구골스택(Googolstack) = $10\uparrow\uparrow10^{100}$

이게 무슨 뜻일까요?

$10^{10^{10^{…^{구골층 높이^{…^{10^{10}}}}}}}$

10을 밑으로 하여 구골 층 높이의 지수 탑을 쌓는 것입니다!

2) 구골스택은 얼마나 클까요?

이전 수들과 비교해봅시다.

구골플렉스: $10^{10^{100}}$ (지수 탑 2층)
구골듀플렉스: $10^{10^{10^{100}}}$ (지수 탑 3층)
구골스택: 지수 탑 구골 층!

구골듀플렉스가 3층짜리 건물이라면, 구골스택은 구골 층짜리 마천루입니다!

테트레이션 연산은 지수연산과 차원이 다르게 수가 커지는 방법입니다. 지수 연산을 아무리 반복해도 테트레이션 한 번을 따라잡을 수 없습니다. 구골스택 앞에서 구골플렉시안은 먼지처럼 작습니다

3) -스택 가족들

이름	수학 표기	설명
구골스택	$10 \uparrow\uparrow 10^{100}$	구골로그라고도 불림
구골플렉스스택	$10 \uparrow\uparrow 10^{10^{100}}$	탑 높이가 구골플렉스!

6. 특별한 이름 짓기 방법들

1) 앨리스터 콕번의 접두사 시스템

앨리스터 콕번이라는 사람의 아들 키런은 숫자를 제곱하는 것을 ‘gar-‘라고 불렀습니다.

이것을 발전시켜 만든 접두사들이 있습니다. 접두사에 따라

접두사의 의미

gar(n) = $n^2$ (제곱하기)

가구골(gar googol) = $\text{구골}^2 = (10^{100})^2 = 10^{200}$
구골을 제곱한 수

fz(n) = $n^n$ (자기 자신만큼 거듭제곱)

fz구골(fzgoogol) = $\text{구골}^{\text{구골}} = (10^{100})^{10^{100}} = 10^{10^{102}}$
구골을 구골 제곱한 수
구골플렉스( $10^{10^{100}}$ )보다 지수가 100배 더 큽니다!

fuga(n) = $n \uparrow\uparrow n$ (자기 자신 높이만큼 탑 쌓기)

푸가구골(fugagoogol) = $\text{구골} \uparrow\uparrow \text{구골}$

접두사 비교표

접두사	이름	연산	예시 (구골에 적용)
gar-	가-	제곱	$10^{200}$
fz-	에프제트-	자기제곱	$10^{10^{102}}$
fuga-	푸가-	테트레이션	$10 \uparrow\uparrow 10^{100}$

2) 조나단 바워즈의 모음 변환 시스템

조나단 바워즈는 재미있는 방법을 생각해냈습니다. 바로 구골(Googol)의 모음을 바꾸는 것입니다!

모음 변화 규칙

화살표 개수가 늘어날 때마다 모음이 변합니다:

o (원래) → i → a → ee → i → o

바워즈의 구골 가족

이름	발음	BEAF 표기	연산	설명
Googol	구골	{10, 100}	$10^{100}$	원조!
Giggol*	기골	{10, 100, 2}	$10 \uparrow\uparrow 100$	테트레이션 (화살표 2개)
Gaggol	가골	{10, 100, 3}	$10 \uparrow\uparrow\uparrow 100$	펜테이션 (화살표 3개)
Geegol	기골	{10, 100, 4}	$10 \uparrow\uparrow\uparrow\uparrow 100$	화살표 4개!
Gigol*	기골	{10, 100, 5}	$10 \uparrow^5 100$	화살표 5개!
Goggol	고골	{10, 100, 6}	$10 \uparrow^6 100$	화살표 6개!

* 주의: 헷갈리는 이름들!

Giggol과 Gigol은 발음이 비슷하지만, Giggol (기골)은 화살표를 2개 사용한 수 이고, Gigol (기골)은 화살표 5개 사용한 수 입니다. 발음은 비슷하지만 완전히 다른 크기입니다!

7. 마무리

오늘 우리는 9살 소년이 만든 ‘구골’에서 시작해, 그 거대한 가족들을 만나보았습니다.

모 든 수들을 소개시켜드리지는 못했지만 큰 수를 만드는 방법과 이름을 붙이는 규칙을 이해했다면, 어떤 의미를 가진 수인지 감을 잡을 수 있을거에요.

예를 들어 ‘기골뱅(Giggolbang)’이라는 수는 기골에 뱅이 붙어있습니다. 뱅은 계승(팩토리얼)을 의미하니, 기골에 팩토리얼을 붙이면 됩니다.

기골뱅(Giggolbang) = $(10\uparrow\uparrow100)!$

fz구골플렉스(Fzgoogolplex)라면 어떨까요? fz가 붙었으니 자기 자신을 자기 자신만큼 제곱한 수라는 뜻이겠지요. 구골플렉스를 구골플렉스번 곱한 수라고 할 수 있습니다.

fz구골플렉스(Fzgoogolplex) = $(10^{10^{100}})^{10^{10^{100}}}$

사실 이 정도되면 어느 정도로 큰 수인지 가늠도 되질 않습니다.

9살 소년의 엉뚱한 대답에서 시작된 구골은, 이제 우리가 우주를 넘어서는 거대한 논리의 세계를 탐험하게 해주는 훌륭한 나침반이 되었습니다.

사실 우리가 오늘 다룬 수들은 아무리 커도 결국은 ‘유한한’ 수입니다. 무한이라는 끝없는 바다에 비하면 아주 작은 점에 불과하지요.

하지만 눈에 보이지 않는 숫자에 이름을 붙이고 그 규칙을 찾아내는 과정 자체가 인간만이 가진 위대한 상상력의 결과입니다. 여러분도 오늘 배운 규칙들을 활용해 세상에 없던 여러분만의 ‘거대수’를 만들어보는 것은 어떨까요?

이 글을 통해 수의 상상의 한계를 넓혀가는 즐거운 모험이 되었으면 합니다.

감사합니다.