이번 글에서는 수학에서 계산을 할 때 중요한 약속 가운데 하나인 연산순서에 대해 이야기해보려고 합니다.
목차
다음 식을 계산해봅시다.
30 – 18 ÷ 3 = ?
위의 식을 보이는 순서대로 계산하면 30 – 18 = 12이고, 12 ÷ 3을 하면 4라는 값을 얻게 됩니다. 하지만 뒤에 18 ÷ 3 = 6을 먼저 계산하면 30 – 6 = 24란 값을 얻게 됩니다. 어떤 순서로 식을 계산하느냐에 따라 계산의 결과값이 달라집니다.
수학에서 계산을 하다 보면, 위와 같이 더하기(+), 빼기(−), 곱하기(×), 나누기(÷) 가 함께 들어 있는 식을 자주 보게 됩니다. 그런데 이때 계산의 순서를 마음대로하게되면 서로 다른 답을 얻게됩니다. 어떤 순서로 계산하느냐에 따라 계산 결과가 다르기 때문에, 연산의 순서를 정해 놓지 않으면 수학은 엉망이 되어버립니다.
그래서 공통된 계산 규칙, 즉 ‘연산 순서의 약속’을 만들어 두었습니다.
연산 순서의 기본 원칙
더하기(+), 빼기(−), 곱하기(×), 나누기(÷) 가 함께 들어 있는 식을 계산할 때 핵심규칙은 다음과 같습니다.
- 같은 순위의 연산은 왼쪽에서 오른쪽으로 계산한다.
- 곱하기(×), 나누기(÷)는 더하기(+), 빼기(−)보다 먼저 계산한다.
- 괄호가 있다면 괄호 안을 먼저 계산한다.
1) 같은 순위의 연산은 왼쪽에서 오른쪽으로 계산한다.
곱셈과 나눗셈 또는 덧셈과 뺄셈이 섞여있는 혼합계산 식은 왼쪽에서부터 차례대로 계산합니다. 다음 아래의 예를 살펴보겠습니다.
$$①\; 12 \div 3 \times 2 = $$
$$②\; 12\, – 5 + 3 = $$
①의 경우 앞에서부터 순서대로 계산하면 4 × 2 = 8이 됩니다. 하지만 뒤에 있는 3 × 2를 먼저 계산하면 12 ÷ 6 = 2가 되어버립니다.
②의 경우도 살펴보면 앞에서부터 차례대로 계산하면 7 + 3 = 10이됩니다. 하지만 뒤에 있는 5 + 3을 먼저 계산하면 12 – 8 = 4가 되어버립니다.
잘 아시겠지만 앞에서부터 순서대로 계산한 8(①번)과 10(②번)이 올바른 계산값입니다. 이처럼 같은 순위의 연산은 왼쪽에서부터 오른쪽으로 차례대로 계산을 해아합니다.
2) 곱하기(×), 나누기(÷) → 더하기(+), 빼기(-)
$$ 6+3 \times 2 = $$
다음과 같이 더하기와 곱셈이 하나의 식에 같이 있을 경우 곱셈을 우선적으로 계산합니다. 만약 계산순서를 지키지 않고 앞에서부터 계산한다면 6 + 3 × 2 = 9 × 2 = 18이 되어버립니다.
그렇다면 왜 곱하기를 먼저 계산할까요?
곱셈은 사실 반복된 덧셈의 축약형이라고 볼 수 있습니다. 예를 들어, 3 × 4 = 3 + 3 + 3 + 3입니다. 이처럼 곱하기는 여러 번 더하기를 대신하는 표현입니다. 곱셈은 더하기보다 한 단계 높은 연산입니다.
혼합계산에서 곱셈을 우선시하면, 복잡한 식을 더 깔끔하고 쉬운 형태로 만들 수 있다는 장점이 있습니다. 만약 앞에서부터 순서대로 계산하게 된다면 분배법칙과 같은 중요한 규칙이 복잡해지거나 비효율적으로 표현할 수 밖에 없게 됩니다.
분배법칙
a×(b+c)=a×b+a×c (곱셈이 덧셈에 대한 분배)
- a×(b−c)=a×b−a×c (곱셈이 뺄셈에 대한 분배)
- (b+c)×a=b×a+c×a (괄호 뒤의 곱셈)
예를 들어 2 × ( 2 + 3 ) = 2 × 2 + 2 × 3으로 나타낼 수 있습니다.
2 × ( 2 + 3 ) = 2 × 5 = 10 으로 계산할 수 있습니다.
그런데 분배법칙으로 풀어낸 2 × 2 + 2 × 3이란 식을 연산 순서를 무시하고 앞에서부터 순서대로 계산하면 18이란 계산 값을 얻게 됩니다. 원래 10이란 계산값과 모순이 되는 것을 확인할 수 있습니다. 괄호가 없을 때 곱셈과 나눗셈을 먼저 계산하는 것은 수학적 표현을 일관되게 유지하는 역할을 해주는 중요한 약속이라고 할 수 있습니다.
나눗셈도 곱셈과 마찬가지의 맥락에서 덧셈, 뺄셈보다 먼저 계산하도록 함으로써 복잡한 계산에서 일관성을 유지하는 중요한 역할을 합니다.
3) 괄호가 있다면 괄호 안을 먼저 계산한다.
괄호는 연산의 순서를 조정할 때 사용합니다. 계산할 때는 괄호의 안쪽부터 차례대로 계산합니다.
- 소괄호 ( ) → 제일 먼저 계산
- 중괄호 { } → 두 번째
- 대괄호 [ ] → 세 번째
예를 들어 확인해보겠습니다.
$$ [2 + \{3 + (4 \times 5)\}] = [2 + \{3 + 20\}] = [2 + 23] = 25 $$
위의 식처럼 소괄호 → 중괄호 → 대괄호 순으로 안쪽부터 하나씩 풀어나가며 계산을 해줍니다.
지수는 곱셈, 나눗셈보다 우선
곱셈보다 더 우선하는 연산순서가 있습니다. 바로 곱셈의 반복을 축약하여 표현한 지수입니다. 지수표현은 곱셈보다 한단계 높은 연산 표현 방법입니다.
2를 5번 곱한 값을 아래와 같이 지수표현으로 나타냅니다.
$$ 2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 $$
만약 지수표현이 혼합계산식에 등장한다면 곱셈, 나눗셈보다 더 우선하여 계산을 해주어야 합니다.
예를 들어 다음과 같은 식을 계산한다고 하면 아래와 같은 계산 순서로 식을 계산해야합니다.
마무리
이처럼 연산의 순서는 수학에서 아주 중요한 약속입니다. 같은 식이라도 계산 순서를 지키지 않으면 전혀 다른 결과가 나오기 때문이죠.
괄호, 곱하기·나누기, 더하기·빼기, 그리고 지수까지…
이 모든 규칙들은 우리가 복잡한 계산을 정확하고 일관되게 할 수 있도록 돕습니다.
수학은 규칙의 언어입니다. 연산 순서라는 약속을 잘 이해하면 어떤 복잡한 식이라도 차근차근 풀어갈 수 있고, 더 나아가 식의 구조를 ‘읽는 눈’을 키울 수 있습니다.
다양한 연산기호가 섞인 혼합 계산식을 계산할 때는 꼭 기억해주세요.
괄호 → 지수 → 곱하기·나누기 → 더하기·빼기
이 순서를 지키면, 혼합계산으로 실수하는 일이 없으실 거에요!