3,500년 전 이집트 수학 문제, 린드 파피루스

아주 먼 옛날, 무려 3,500년 전 이집트로 시간 여행을 떠나봅시다. 그때는 유튜브도 없고, 지금처럼 학생들을 괴롭히는 문제집도 없었어요. 그런데 이집트 어린이들은 어떻게 수학 공부를 했을까요? 지금부터 그 비밀이 담긴 ‘린드 파피루스’ 이야기를 들려주려고 합니다.

린드 파피루스가 뭐예요?

이집트의 나일 강은 해마다 우기가 되면 강물이 범람하면서 강가 주변에 습지가 형성되었습니다. 범람 후, 물이 빠지고 나면 다시 비옥한 토양이 되어 농사에 많은 도움이 되었습니다. 그러한 강 유역에 많이 자라나는 갈대와 비슷한 식물이 있었는데 이 식물의 이름이 파피루스입니다. 이집트 사람들은 이 식물을 이용해 기록할 수 있는 종이를 만들었습니다.

약 기원전 1550년에 만들어진 것으로 추정되는 ‘린드 파피루스’는 1858년에 ‘헨리 린드’라는 사람이 발견해서 이런 이름이 붙었습니다. 이 파피루스는 길이가 무려 5미터나 된다고 합니다. (교실에 있는 칠판보다 더 길어요) 이 파피루스가 유명해진 이유는 84개의 수학 문제와 풀이 방법이 적혀 있어 이집트의 수학이 얼마나 발전했는지를 알 수 있는 중요한 자료이기 때문입니다. 모스크바 수학 파피루스와 함께 가장 많이 알려진 수학 파피루스 입니다.

그럼 이 파피루스에는 어떤 문제들이 담겨있을까요? 이 파피루스에 담긴 문제 중 몇가지를 함께 해결해봅시다.

린드파피루스에 담긴 수학문제를 해결해보자!

1) 6번 문제: 빵을 공평하게 나누기

문제: 빵 9개를 10명이 똑같이 나눠 먹으려면?

2) 24번 문제: “아하!”를 찾아라

문제 24~34번에는 ‘아하(Aha)’라는 단어가 자주 등장합니다. ‘아하!’는 우리가 수학 시간에 배우는 ‘X’(모르는 수)를 뜻합니다.

문제: “어떤 수(아하)와 그 수의 1/7을 더하면 19가 된다. ‘아하’는 얼마일까?”

3) 79번 문제: 고양이와 쥐 이야기

• 집이 7채 있습니다.
• 각 집에는 고양이가 7마리씩 살고 있습니다.
• 고양이 한 마리가 쥐를 7마리씩 잡았습니다.
• 쥐 한 마리는 보리 이삭을 7개씩 먹었습니다.
• 보리 이삭 하나에서는 보리 알갱이가 7홉씩 나왔습니다.

문제: 이 모든 것을 다 더하면 얼마일까요?

린드 파피루스의 문제 풀이!

1) 빵 9개를 10명이 똑같이 나눠 먹으려면?

이 문제가 어렵게 느껴지지 않을 수 있습니다. 우리는 보통 9 ÷ 10이라고 계산을 하고 한 사람당 9/10개씩 나눠 가지면 되겠다고 생각합니다. 하지만 이집트 사람들은 좀 다르게 생각했어요.

이집트 사람들은 이렇게 계산을 했습니다.

1단계: 2/3 조각 배분 (빵 7개 사용)

• 빵 7개를 각각 3등분합니다. 그러면 총 21개의 조각(1/3 크기)이 나옵니다.
• 10명에게 1/3 조각을 2개씩 줍니다. (이것이 2/3입니다.)
• 그러면 1/3 조각 1개가 남습니다.

2단계: 1/5 조각 배분 (빵 2개 사용)

• 남은 빵 2개를 각각 5등분합니다. 총 10개의 조각(1/5 크기)이 나옵니다.
• 10명에게 1/5 조각을 1개씩 나누어 줍니다. 이제 남은 온전한 빵은 없습니다.

3단계: 1/30 조각 배분 (남은 조각 활용)

• 아까 1단계에서 남았던 1/3 조각 1개를 다시 10등분합니다.
• 그러면 아주 작은 1/30 조각 10개가 나옵니다.
• 이것을 10명에게 1개씩 나누어 줍니다.

이렇게 하면 한 사람당 큰 조각 2개 (각 1/3 크기, 합쳐서2/3), 중간 조각 1개 (1/5 크기), 작은 조각 1개 (1/30 크기)를 갖게 됩니다.

식으로 나타내서 계산을 해보면 $$ \frac{2}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{30} = \frac{9}{10} $$되어, 정확히 9/10의 양이 됩니다. 

이렇게 했을 때 장점은 무엇일까요?

9개의 빵을 모두 10등분하여 9조각씩 나눠주어도 되겠지만 빵을 나누는 과정에서 빵이 부스러질 수도 있고, 그로 인해 온전한 형태의 빵을 받기 어려웠을 겁니다. 받는 사람 입장에서 “나도 남들처럼 큰 덩어리 2개와 작은 조각들을 받았다”는 심리적 만족감과 배분의 형평성을 동시에 충족시키는 방법이었다는 생각이 듭니다.

2) “아하!”를 찾아라

이 문제를 방정식의 형태로 푼다면 다음과 같이 식을 세워 풀 수 있습니다.

$$ x + x \times \frac{1}{7} = 19 $$

$$ \frac{8}{7} x = 19 $$

$$ x= 19 \times \frac{7}{8} = \frac{133}{8}$$

당시 서기관 아메스는 미지수 𝑥를 직접 구하는 대신, 계산하기 편한 가짜 값(False Value)을 먼저 대입하여 정답을 찾아가는 방식을 사용했습니다. 

1. 가정하기: 분모인 7로 나누기 쉬운 숫자 7을 임의의 정답으로 가정합니다.
2. 검증하기: 가정한 값(7)을 문제 식에 대입합니다.
   • $$ 7 + 7 \times \frac{1}{7} = 8 $$
   • 계산 결과로 8이 나옵니다. 하지만 우리가 원하는 정답은 19입니다.
3. 비율 조정하기: 실제 정답(19)은 계산 결과(8)의 몇 배인지 구합니다.
   • $$ 19 \div 8 = 2 + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} $$
4. 최종 결과 도출: 처음에 가정한 값(7)에 이 비율을 곱합니다.
   • $$ 7 \times {2 + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}} = 14 + 1.75 + 0.875 = 16.625$$

구하는 과정이 조금 더 복잡하게 느껴지지만 비율과 분수를 이용해서 문제를 해결한 지혜를 엿볼 수 있습니다.

3) 고양이와 쥐 이야기

이야기를 따라 계산을 해보면 계속 7씩 곱해나가는 수임을 알 수 있습니다.

1. 집: 7채
2. 고양이: 7 × 7 = 49마리
3. 쥐: 49 × 7 = 343마리
4. 보리 이삭: 343 × 7 = 2,401개
5. 보리 알갱이: 2,401 × 7 = 16,807홉
6. 모두 더하면: 7 + 49 + 343 + 2,401 + 16,807 = 19,607

정답은 19,607입니다. 숫자가 계속 7배씩 커지는 규칙이 숨어있습니다.

이집트 수학이 우리에게 알려주는 것

린드 파피루스를 통해 우리는 3,500년 전 이집트 사람들의 놀라운 수학적 지혜를 발견할 수 있습니다. 이집트 사람들에게 수학은 단순히 골치 아픈 공부가 아니었습니다. 수학은 모두가 행복하고 정확하게 살기 위한 도구였습니다: 이집트 사람들은 실생활에서 필요한 문제를 수학으로 해결했습니다. 그들의 방법은 때로 우리가 배우는 방법보다 복잡해 보일 수 있지만, 그 안에는 이집트 사람들의 수학적인 고민들이 담겨있었다는 것을 느낄 수 있습니다.